Question

椭圆C经过点P（3，0），Q（0，-1）
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程，并求出椭圆C的长轴长、短轴长、离心率和焦点坐标．
（Ⅱ）设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为P（3，0），Q（0，-1）在坐标轴上，由椭圆标准方程定义易得a、b的值，进而求得椭圆C的长轴长、短轴长、离心率和焦点坐标
（Ⅱ）将直线与椭圆联立，运用韦达定理，设而不求的技巧，易得线段AB的中点坐标

解答：解：（Ⅰ）由已知可得a=3，b=1，∴c=

a2-b2

=2

2

椭圆的标准方程为

x2

9

+y2=1，
长轴长2a=6，短轴长 2b=2．
离心率e=

c

a

=

2 2

3

．
    焦点为(2

2

，0)，(-2

2

，0)．
（Ⅱ）

x2 9 +y2=1 y=x+2

得出10x²+36x+27=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点坐标为（x₀，y₀）
则x₁+x₂=-

18

5

，x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，y₀=x₀+2=

1

5

∴线段AB的中点坐标为(-

9

5

，

1

5

)

点评：本题考查了椭圆标准方程的定义和求法，椭圆的几何意义，及直线与椭圆的关系，简单运用韦达定理，设而不求解决问题，属基础题