Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P（3，

2

）且与x轴交于点F（2，0）．
（1）求直线l的方程．
（2）如果椭圆C经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程．
（3）若在（1）、（2）的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且

PM

=λ•

PQ

，当|

OM

|取最小值时，求λ的对应值．

Answer 1

分析：（1）由两点式方程能够得到直线方程．                              
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，依题意有：

9 a2 + 2 b2 =1 a2-4=b2

，解之得到所求椭圆方程．
（3）由

x2 12 + y2 8 =1 y= 2 (x-2)

消去y得，x²-3x=0，所以x=0或x=3，代回直线方程可得y=-2

2

，或y=

2

．由此能够求出当|

OM

|取最小值时，λ的对应值．

解答：解：（1）直线方程为

y

x-2

=

2

1

，整理，得y=

2

(x-2)；                              
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，（5分）
依题意有：

9 a2 + 2 b2 =1 a2-4=b2

，解之得

a2=12 b2=8

所求椭圆方程为：

x2

12

+

y2

8

=1…（8分）
（3）由

x2 12 + y2 8 =1 y= 2 (x-2)

消去y得，x²-3x=0，
所以，x=0或x=3，代回直线方程可得y=-2

2

，或y=

2

因此知Q(0，-2

2

)，P(3，

2

)，（10分）
由

PM

=λ•

PQ

知，点M在直线PQ上，
当|

OM

|最小时，OM⊥PQ，此时OM的方程为y=-

1

2

x（12分）
由

y= 2 (x-2) y=- 1 2 x

解得M(

4

3

，-

2 2

3

)，（14分）
代入

PM

=λ•

PQ

得λ=

5

9

所以，当|

OM

|最小时，λ=

5

9

．

点评：本题考查直线方程的求法、椭圆方程的求法和当|

OM

|取最小值时，求λ的对应值．解题时要注意两点式方程的应用、椭圆性质的运用和分类讨论思想的合理运用．