Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的极小值为0，.

①求的值；

②若对于任意的，，有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为（2）①②

【解析】

（1）首先求出导函数，利用导数与函数单调性的关系即可求解.

（2）①由已知可得，，求出导函数，令，利用导数与极值的关系即可求解； ②设，根据题意只需成立，求出，结合①分类讨论，若，当时，，不满足，故必有，令，解得，根据与定义域的关系进行讨论：分或，利用导数求出即可求解.

解：（1）由已知得，

令，方程无实数解，

可知对任意都有，所以函数的单调减区间为，无增区间.

（2）由已知化简得，.

①，令，解得.

当变化时，，的变化情况如下表：

		0
		极小值

故极小值.因为极小值为0，所以.

②设，

根据题意，对任意的，，有成立，

可得.

由①可知，当时，在处取得最小值0，

又因为在上递增，所以当时，.

若，则当时，，不符题意，舍去.故必有.

令，解得.

下面根据与定义域的关系进行讨论：

当，即时，在上恒成立，

因此在，上递减，从而当，时，

总有，故符合题意；

当，即时，可知对任意的，恒成立，

因此在，内递增.

因为，所以当时，，不合题意.

综上，的取值范围是.