题目内容

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，过M作AB的垂直平分线交x轴于N．
（1）求证： $数学公式$ ；
（2）过A，B的抛物线的切线相交于P，求P的轨迹方程．

（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$
∴AB的垂直平分线为 $\text{[math]}$
令y=0，则x_N=x₀+p
∴ $\text{[math]}$
∵|AB|=x₁+x₂+p=2x₀+p
∴ $\text{[math]}$
（2）解：y≥0时， $\text{[math]}$ ，y′= $\text{[math]}$
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀′，y₀′），则切线方程为：y₁y=p（x+x₁），y₂y=p（x+x₂）
∵过A，B的抛物线的切线相交于P，
∴y₀′y₁=p（x₀′+x₁），y₀′y₂=p（x₀′+x₂）
∴AB的方程为y₀′y=p（x₀′+x）
而AB过F $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴P的轨迹方程为 $\text{[math]}$
分析：（1）先求AB的垂直平分线，求出AB的垂直平分线交x轴于N的坐标，进而求得 $\text{[math]}$ ，|AB|=x₁+x₂+p=2x₀+p，从而问题得证；
（2）先求过A，B的抛物线的切线方程，利用过A，B的抛物线的切线相交于P，可求AB的方程，利用AB过点F，即可求得P的轨迹方程．
点评：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查抛物线的切线方程，考查轨迹方程，用好抛物线的定义，正确求出抛物线的切线方程是解题的关键．