Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，过M作AB的垂直平分线交x轴于N．
（1）求证：FN=

1

2

AB；
（2）过A，B的抛物线的切线相交于P，求P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先求AB的垂直平分线，求出AB的垂直平分线交x轴于N的坐标，进而求得|FN|= x0+

p

2

，|AB|=x₁+x₂+p=2x₀+p，从而问题得证；
（2）先求过A，B的抛物线的切线方程，利用过A，B的抛物线的切线相交于P，可求AB的方程，利用AB过点F，即可求得P的轨迹方程．

解答：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则kAB=

p

y0

∴AB的垂直平分线为y-y0=- 

p

y0

(x-x0)
令y=0，则x_N=x₀+p
∴|FN|= x0+

p

2

∵|AB|=x₁+x₂+p=2x₀+p
∴|FN|=

1

2

|AB|
（2）解：y≥0时，y=

2px

，y′=

p

2px

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀′，y₀′），则切线方程为：y₁y=p（x+x₁），y₂y=p（x+x₂）
∵过A，B的抛物线的切线相交于P，
∴y₀′y₁=p（x₀′+x₁），y₀′y₂=p（x₀′+x₂）
∴AB的方程为y₀′y=p（x₀′+x）
而AB过F(

p

2

，0)
∴y0′×0=p(x0′+

p

2

)
∴x0′=-

p

2

∴P的轨迹方程为x+

p

2

=0

点评：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查抛物线的切线方程，考查轨迹方程，用好抛物线的定义，正确求出抛物线的切线方程是解题的关键．