Question

求二项式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展开式中：
（1）常数项；
（2）有几个有理项；
（3）有几个整式项．

Answer 1

分析：（1）先求出展开式的通项公式，令x的幂指数等于零求出r的值，即可求得常数项．
（2）在展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，可得r为6的倍数，求出r的值，可得有理项．
（3）在展开式的通项公式中，令x的幂指数 5-

5

6

r为非负整数，得r的值，可得整式项．

解答：解：展开式的通项为：T_r+1=(-1)r

C

r 15

(

3	x

)15-r(

2

x

)r=(-1)r2r

C

r 15

x

30-5r

6

，
（1）设T_r+1项为常数项，则

30-5r

6

=0，解得r=6，即常数项为T₇ =2⁶

C

6 15

．
（2）设T_r+1项为有理项，则

30-5r

6

=5-

5

6

r为整数，∴r为6的倍数，
     又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．
（3）5-

5

6

r为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项．

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．