Question

已知(

3	x

+x2)2n的展开式的系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的系数和大992，求（2x-

1

x

）²ⁿ的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．

Answer 1

分析：（1）根据(

3	x

+x2)2n的展开式的系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的系数和大992，对x进行赋值，令x=1，即可得到关于n的方程：2²ⁿ-2ⁿ=992，求出n，根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项
（2）利用两边夹定理，设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式

C10r210-r≥C10(r-1)210-r+1 C10r210-r≥C10(r+1)210-r-1

，即可求解

解答：解：由题意知：2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．
（1）(2x-

1

x

)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即
T6= C105×(2x)5(-

1

x

)5 =-8064
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，因为Tr+1=C10r×(2x)10-r(-

1

x

)r=（-1）^rC₁₀r2^10-rx^10-2r

则

C10r210-r≥C10(r-1)210-r+1 C10r210-r≥C10(r+1)210-r-1

，得

C10r≥2C10r-1 2C10r≥C10r+1

即

11-r≥2r 2(r+1)≥

10-r
解得

8

3

≤r≤

11

3

所以r=3，故系数的绝对值最大的项是第4项
即T4=C103(2x)7(-

1

x

)3=-15360x4

点评：本题通过赋值法求出n，根据二项式系数的性质，同时利用两边夹定理进行求解，属于基础题．