Question

求二项式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展开式中：
（1）常数项；
（2）奇数项二项式系数之和；
（3）各项系数之和；
（4）有几个有理项．

Answer 1

分析：（1）求出二项式的展开式的通项为Tr+1=(-2)r

C

r 15

x5-

5r

6

，令x的指数为0，求出常数项．
（2）根据二项式系数和的性质，得奇数项二项式系数之和．
（3）令二项式中的x=1得到各项系数之和为-1；
（4）项为有理项，需5-

5r

6

为整数，所以r为6的倍数，得到r的取值即有理项的项数．

解答：解：（1）展开式的通项为Tr+1=(-2)r

C

r 15

x5-

5r

6

，
令5-

5r

6

=0得r=6，
即常数项为T₇=2⁶C₁₅⁶，
（2）根据二项式系数的性质得
奇数项二项式系数之和为2^n-1=2¹⁴
（3）令二项式中的x=1得到各项系数之和为-1；
（4）项为有理项，需5-

5r

6

为整数，
所以r为6的倍数，
所以r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．

点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；考查二项式系数的性质：展开式的中间项的二项式系数最大及展开式的二项式系数和为2ⁿ．