Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（，0），直线PA与PB的斜率之积为定值，
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M，N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，整理得，
所以所求轨迹E的方程为；
（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；
当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时，
以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；
当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点，
由消y得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
由得，
所以，
则线段MN的中垂线m的方程为，
整理得直线m：，
则直线m与y轴的交点，
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RM⊥RN，
即，
，①
由，②
将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1）；
综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0。