题目内容

设向量
a
，
b
，
c
满足|
a
|=|
b
|=2，
a
•
b
=-2，＜
a
-
c
，
b
-
c
＞=60°，则|
c
|的最大值等于（　　）
分析：利用向量的数量积求出
a
，
b
的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出|
c
| 的最大值．
解答：解：由 |
a
|=|
b
|=2，
a
•
b
=-2，＜
a
-
c
，
b
-
c
＞=60°，
可得 2×2×cos＜
a
 ，  
b
＞=-2，
∴cos＜
a
 ，  
b
＞=-
1
2
，＜
a
 ，  
b
＞=120°．
如图所示：设
OA
 =
a
，
OB
 =
b
，
OC
 =
c
，
则
CA
 =
a
-
c
，
CB
 =
b
-
c
．
则∠AOB=120°；∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆．
∴
AB
 =
b
-
a
，
AB
2=
b
2+
a
2-2
a
•
b
=4+4-2（-2）=12，∴|
AB
|=2
3
．
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
AB
sin∠ACB
=4，
当OC为直径时，它的模|
c
|最大，最大为4，
故选D．
点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设向量
a
，
b，
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
b，若|
a
|=1，则|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
 
．
设向量
a
、
b
、
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，（
a
-
b
）⊥
c
，
a
⊥
b
，|
a
|=1，则|
c
|=
 
．
设向量
a
，
b
，
c
满足|
a
|=|
b
|=1，
a
•
b
=
1
2
，（ 
a
-
c
）•（ 
b
-
c
）=0，则|
c
|的最大值为（　　）
（2011年高考全国卷理科）设向量
a
、
b
、
c
满足|
a
|=|
b
|=1，
a
•
b
=-
1
2
，＜
a
-
c
，
b
-
c
＞=600，则|
c
|的最大值等于（　　）
设向量
a
，
b
，
c
满足|
a
|=|
b
|=1，
a
•
b
=-
1
2
，＜
a
-
c
，
b
-
c
＞=60°，则|
c
|的最大值等于
2
2
．

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