Question

（2011年高考全国卷理科）设向量

a

、

b

、

c

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60⁰，则|

c

|的最大值等于（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：构造

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AC

=

c

，∠BAD=120°，∠BCD=60°，可得A，B，C，D四点共圆，且圆的半径等于1，
故当线段AC为直径时，|

c

|最大，最大值为圆的直径．

解答：解：如图，由于|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60⁰，
构造

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AC

=

c

，∠BAD=120°，∠BCD=60°，
所以A，B，C，D四点共圆．
由于BD=|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2+ b 2-2 a • b

=

3

，
△BCD中，由正弦定理可得 2R=

BD

sin∠BCD

=

3

3 2

=2，
故四边形外接圆的半径等于1，
可知当线段AC为直径时，|

c

|最大，最大值为2．
故选A．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理，体现了数形结合的数学思想和等价转化的数学思想，
属于中档题．