Question

设向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60°，则|

c

|的最大值等于

2

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积求出

a

，

b

的夹角；利用向量的运算法则作出图形；结合图形利用四点共圆；通过正弦定理求出外接圆的直径，求出|

c

|最大值．

解答：解：

c

∵|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

∴

a

，

b

的夹角为120°，
设 OA=

a

，OB=

b

，OC=

c

则

CA

=

a

-

c

；

CB

=

b

-

c

如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠AOC=180°
∴A，O，B，C四点共圆
∵

AB

=

b

-

a

∴

AB

²=

b

²-2

a

•

b

+

a

²=3
∴AB=

3

，
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=

AB

sin∠ACB

=2
当OC为直径时，|

c

|最大，最大为2
故答案为：2．

点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．