Question

【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.

(1)求证:BD⊥平面ACFE;

(2)当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.

【解析】试题分析：（1）因为底面是菱形，故，而由平面可得，故平面.（2）取 的中点为，以为坐标原点,以为轴,以为轴，以为轴,建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角的余弦值.

解析：(1)证明:在菱形中,可得，又因为平面 , ，且平面.

(2)取 的中点为，以为坐标原点,以为轴,以为轴，以为轴,建立空间直角坐标系，则，则,设平面的法向量，

由 ，也就是，可取 ①

则，解得，故

设平面的法向量为

设平面的法向量为 ,

同理①可得

则，则二面角的余弦值为.