Question

【题目】已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】试题分析：

（1）由题意得到右顶点和上顶点的坐标，得到的值后可得椭圆的方程．（2）设出直线方程，可得点到直线的距离．结合直线方程与椭圆方程联立消元后所得的一元二次方程，可求得弦长，根据求得后，根据函数求最值的方法可求得的最大值．

试题解析：

（1）在方程中，

令，得，所以上顶点的坐标为，故；

令，得，所以右顶点的坐标为，故．

所以椭圆的方程为.

（2）由条件可得直线过点，且斜率存在，

设其方程为，即，

由消去y整理得

．

∵直线与椭圆交于两点，

∴，

解得．

设，

则，

∴

，

又点到直线的距离．

∴

，

令，

则，

所以当，即时， 有最大值，且最大值为．

经检验知满足，故的面积的最大值为．