Question

已知函数，．
（1）若函数在处取得极值，求的值；
（2）若函数的图象上存在两点关于原点对称，求的范围．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和函数思想.第一问，由于在处取得极值，所以是的根，所以对求导，解，得出a的值，但是需要验证是否符合题意；第二问，先将“的图象上存在两点关于原点对称”转化为“存在图象上一点，使得在的图象上”，即转化为“同时成立”，联立消参，即转化为“，即关于的方程在内有解”，下面证明与有交点.
试题解析：（1）当时，，   2分
∵在处取得极值
∴，即
解得：，经验证满足题意，∴．            5分
的图象上存在两点关于原点对称，
即存在图象上一点，
使得在的图象上
则有 
                         8分
化简得：，即关于的方程在内有解                   9分
设，则
∵
∴当时，；当时，
即在上为减函数，在上为增函数
∴，且时，；时，
即值域为                                             11分
∴时，方程在内有解
∴时，的图象上存在两点关于原点对称．   12分