Question

【题目】对于函数，若存在实数，使得成立，则x0称为f（x）的“不动点”．

（1）设函数，求的不动点；

（2）设函数，若对于任意的实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；

（3）设函数定义在上，证明：若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点．

Answer 1

【答案】（1）的不动点为-1和2；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）设x为不动点，则有，得，解方程即可．

（2）证法一：设为不动点，则，否则设，则也为不动点，与已知存在唯一的不动点矛盾．由此能证明若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点．

证法二：设a是的唯一不动点，．设，则，由唯一性，得到，从而a是的不动点．如果f有其它的不动点c，则c也是的不动点，由唯一性得，由此能证明若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点．

解：（1）由函数，得

解得或，

∴的不动点为-1和2．

（2）由得：

由已知，此方程有相异二实根，恒成立，即

即对任意恒成立．

∴实数a的取值范围是

证明：（3）证法一：设函数定义在上，存在唯一的不动点，

首先若为不动点，则

否则设，则也为不动点，

即不动点不唯一，与已知存在唯一的不动点矛盾．

∴有不动点时，的不动点也是的不动点，

∴若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点．

证法二：设a是的唯一不动点，．

设，则

∴b也是的不动点．

由唯一性，得到，∴，从而a是的不动点．

如果f有其它的不动点c，则c也是的不动点，

由唯一性得，∴a是的唯一不动点．

故若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点．