Question

4．命题P：函数y=lg（-x²+4ax-3a²）（a＞0）有意义，命题q：实数x满足$\frac{x-3}{x-2}＜0$．
（1）当a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由-x²+4ax-3a²＞0得x²-4ax+3a²＜0，
即（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．
若a=1，则p：1＜x＜3，
由$\frac{x-3}{x-2}＜0$解得2＜x＜3．
即q：2＜x＜3．
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
∴即（2，3）是（a，3a）的真子集．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{3a≥3}\\{a≤2}\end{array}}\right.$，解得1≤a≤2．实数a的取值范围为[1，2]．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．