Question

已知离心率为的椭圆过点，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于不同的两点。

（1）求椭圆的方程。
（2）证明：若直线的斜率分别为、，求证：+=0。

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析。

试题分析：(1)由于先由椭圆C的离心率和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程
（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到根与系数的关系，那么再结合斜率公式得到证明。
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为:．
由题意得: ∴ 椭圆方程为．
（Ⅱ）由直线,可设，将式子代入椭圆得:
设,则
设直线、的斜率分别为、，则 
下面只需证明：，事实上，

。
点评：解决该试题的关键是能利用椭圆的性质得到a,b,c,的值，进而得到椭圆方程，同时能利用韦达定理得到斜率的关系式。