Question

（本小题满分12分）设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线的方程；
（Ⅱ）若、分别为上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

Answer 1

（Ⅰ），渐近线方程为；（Ⅱ）
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。

试题分析：（Ⅰ）利用离心率为2，结合c²=a²+3，可求a，c的值，从而可求双曲线方程，即可求得渐近线方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根据A、B分别为l₁、l₂上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．
解：（Ⅰ）

，渐近线方程为
（Ⅱ）设，AB的中点


则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。
点评：解决该试题的关键是能理解双曲线的性质熟练的得到a,b,的值，注意焦点位置对于渐近线的影响。同时能利用坐标关系式得到轨迹方程。