Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n（S_n-

1

2

）
（1）证明：（

1

Sn

）是等差数列
（2）设b_n=

Sn

2n+1

）n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）将Sn2=an(Sn-

1

2

)，转化为Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，得出

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，利用定义证明{

1

Sn

}是等差数列
（2）由（1）得出bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂项后计算化简求和．

解答： 解：（1）证明：由Sn2=an(Sn-

1

2

)，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
得Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)
即2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
由题意知S_nS_n-1≠0，所以有

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
所以(

1

Sn

)是以

1

S1

=

1

a1

=1为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（1）可得

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1…所以Sn=

1

2n-1

所以bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题考查数列的判定，通项公式，和的计算，考查转化构造，计算能力．本题中的数列求和法为裂项法．