Question

已知函数．

(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；

(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，得，

令，得或．

当变化时，及的变化如下表：

		-		+		-
		↘	极小值	↗	极大值	↘

由，，，

即最大值为，．                          4分

（Ⅱ）由，得．

，且等号不能同时取，，即 

恒成立，即．                     6分

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，，．          8分

（Ⅲ）由条件，，

假设曲线上存在两点，满足题意，则， 只能在轴两侧，

不妨设，则，且．

是以为直角顶点的直角三角形，，

    ，

是否存在，等价于方程在且时是否有解．            10分

①若时，方程为，化简得，此方程无解；

②若时，方程为，即，

设，则，

显然，当时，，

即在上为增函数，

的值域为，即，当时，方程总有解．

对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．    14分

考点：利用导数研究函数的单调性、最值。

点评：难题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。涉及“不等式恒成立”问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值问题，利用导数加以解决。本题（III）需要分类讨论，易于出错，是叫男的一道题目。