Question

已知函数

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；

（Ⅱ）若，讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）对任意的，恒有，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）若，则，可知函数的增区间为和，减区间为                                  

若，则，可知函数的增区间为；

若，则，可知函数的增区间为和，减区间为

（3）

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ），得切线斜率为               2分

据题设，，所以，故有                             3分

所以切线方程为即                          4分

（Ⅱ） 

若，则，可知函数的增区间为和，减区间为                                   8分

若，则，可知函数的增区间为；

若，则，可知函数的增区间为和，减区间为  10分

（Ⅲ）当时，据（Ⅱ）知函数在区间上递增，在区间上递减，所以，当时，，故只需，

即

显然，变形为，即，解得               12分

当时，据（Ⅱ）知函数在区间上递增，则有

只需，解得.

综上，正实数的取值范围是                         14

考点：导数的运用

点评：考查了导数在研究函数中的运用，求解切线方程以及函数单调性，以及函数的最值，属于中档题。