Question

【题目】已知函数有极值，且在处的切线与直线垂直．

（1）求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数的极小值为．若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在实数，使得函数的极小值为.

【解析】试题分析：（1），因为在处的切线与直线垂直，所以，得与的关系。因为 函数有极值，故方程有两个不等实根，其判别式大于0，结合，可求实数的取值范围；（2）根据导函数的正负，求函数的极小值、极小值点，令极小值等于2，求得极值点，进而求实数的值。

试题解析：（1）∵，∴，

由题意，得，∴.①

∵有极值，故方程有两个不等实根，

∴，∴.②

由①②可得, 或．

故实数的取僮范围是．

（2）存在.

∵．令， .

,随值的变化情况如下表：

	+		-		+
	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴，∴或.

若，即，则（舍）.

若，又，∴，∴，

∵，∴，∴，∴.

∴存在实数，使得函数的极小值为.