Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.

（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、2倍后得到曲线.试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】(1)直线的直角坐标方程为： .曲线的参数方程为（为参数）.(2)点，此时.

【解析】试题分析：（1）利用，可得直线的直角坐标方程为： ，利用 ，可得曲线的直角坐标方程为： ，进而可得曲线的参数方程；（2）根据曲线的直角坐标方程，设点的坐标，则点到直线的距离为，利用辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.

试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为： .

曲线的直角坐标方程为： ，

∴曲线的参数方程为（为参数）.

（2）设点的坐标，则点到直线的距离为：

，

∴当， 时，点，

此时.