Question

【题目】椭圆： 的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点， .

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点， 不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.

Answer 1

【答案】(1) . (2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得，则椭圆C的标准方程为.

(2)由题意可得，结合题意可得圆的方程为，则以线段ST为直径的圆恒过定点.

试题解析：

（1）解： ，又，联立解得： ，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，

联立得.

，

整理得： ，故，

又， (分别为直线PA，PB的斜率)，

所以，

所以直线PB的方程为： ，

联立得，

所以以ST为直径的圆的方程为： ，

令，解得： ，

所以以线段ST为直径的圆恒过定点.