题目内容

已知数列{an}满足a1=
1
2
，an-1-an=
anan-1
n(n-1)
(n≥2，n∈N*)，则该数列的通项公式an=
n
3n-1
n
3n-1
．
分析：由an-1-an=
anan-1
n(n-1)
(n≥2，n∈N*)，可得
1
an
-
1
an-1
=
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
．利用“裂项求和”即可得出．
解答：解：∵an-1-an=
anan-1
n(n-1)
(n≥2，n∈N*)，∴
1
an
-
1
an-1
=
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
．
∴
1
an
=(
1
an
-
1
an-1
)+(
1
an-1
-
1
an-2
)+…+(
1
a2
-
1
a1
)+
1
a1

=(
1
n-1
-
1
n
)+(
1
n-2
-
1
n-1
)+…+(1-
1
2
)+2
=1-
1
n
+2=
3n-1
n
，
∴an=
n
3n-1
，当n=1时也成立．
故答案为
n
3n-1
．
点评：本题考查了递推式的意义、“裂项求和”，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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