Question

设函数f（x）=a|x|+

2

ax

（其中常数a＞0，且a≠1）．
（1）当a=10时，解关于x的方程f（x）=m（其中常数m＞2

2

）；
（2）若函数f（x）在（-∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=10时，f（x）=

10x+ 2 10x  x ≥ 0 3 10x        x＜0.

按照分段函数选择解析式，
①当x＜0时，f（x）=

3

10x

＞3．因为m＞2

2

．所以当2

2

＜m≤3时，方程f（x）=m无解；当m＞3，由10^x=

3

m

求解．
②当x≥0时，10^x≥1．由f（x）=m得10^x+

2

10x

=m，转化为（10^x）²-m10^x+2=0．求解．
（2）根据题意有g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根据指数函数，分①当a＞1时，②当0＜a＜1时，两种情况分析，每种情况下，根据绝对值，再按照x≥0时和-2≤x＜0两种情况讨论．最后综合取并集．

解答：解：（1）f（x）=

10x+ 2 10x  x ≥ 0 3 10x        x＜0.

（2分）
①当x＜0时，f（x）=

3

10x

＞3．因为m＞2

2

．
则当2

2

＜m≤3时，方程f（x）=m无解；
当m＞3，由10^x=

3

m

，得x=lg

3

m

．（4分）
②当x≥0时，10^x≥1．由f（x）=m得10^x+

2

10x

=m，
∴（10^x）²-m10^x+2=0．
因为m＞2

2

，判别式△=m²-8＞0，解得10^x=

m± m2-8

2

．
因为m＞2

2

，所以

m+ m2-8

2

＞

2

＞1．
所以由10^x=

m+ m2-8

2

，解得x=lg

m+ m2-8

2

．
令

m- m2-8

2

=1，得m=3．
所以当m＞3时，

m- m2-8

2

=

4

m+ m2-8

＜

4

3+ 32-8

=1，
当2

2

＜m≤3时，

m- m2-8

2

=

4

m+ m2-8

＞

4

3+ 32-8

=1，解得x=lg

m- m2-8

2

．
综上，当m＞3时，方程f（x）=m有两解x=lg

3

m

和x=lg

m+ m2-8

2

；
当2

2

＜m≤3时，方程f（x）=m有两解x=lg

m± m2-8

2

．（8分）

（2）①若0＜a＜1，
当x＜0时，0＜f（x）=

3

ax

＜3；
当0≤x≤2时，f（x）=a^x+

2

ax

．
令t=a^x，则t∈[a²，1]，g（t）=t+

2

t

在[a²，1]上单调递减，
所以当t=1，即x=0时f（x）取得最小值为3．
当t=a²时，f（x）取得最大值为a2+

2

a2

．
此时f（x）在（-∞，2]上的值域是（0，a2+

2

a2

]，没有最小值．（11分）
②若a＞1，
当x＜0时，f（x）=

3

ax

＞3；
当0≤x≤2时f（x）=a^x+

2

ax

．
令t=a^x，g（t）=t+

2

t

，则t∈[1，a²]．
①若a²≤

2

，g（t）=t+

2

t

在[1，a²]上单调递减，
所以当t=a²即x=2时f（x）取最小值a²+

2

a2

，最小值与a有关；（13分）
②a²＞

2

，g（t）=t+

2

t

在[1，

2

]上单调递减，在[

2

，a²]上单调递增，
所以当t=

2

即x=log_a

2

时f（x）取最小值2

2

，最小值与a无关．（15分）
综上所述，当a≥

4	2

时，f（x）在（-∞，2]上的最小值与a无关．（16分）

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根，函数的最值等问题，还考查了分类讨论思想，转化思想．