Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，-1）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=-

1

2

，且a=

3

，b+c=3，（b＞c），求b与c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式化简，然后直接求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）通过f（A）=-

1

2

，求出A的值，且a=

3

，b+c=3，（b＞c），结合余弦定理，求b与c的值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=

a

•

b

=（2cosx，1）•（cosx，-1）=2cos²x-1=cos2x，所以函数的最小正周期为：

2π

2

=π．
    （Ⅱ）f（A）=-

1

2

，所以cos2A=-

1

2

，A是三角形内角，所以A=

π

3

，
     由余弦定理可知，a²=b²+c²-2bccosA，即 3=b²+c²-bc，又b+c=3，（b＞c），
     所以b=2，c=1．

点评：本题是中档题，考查向量的数量积化简三角函数的表达式，求出函数的周期的求法，余弦定理的应用，考查计算能力．