Question

设函数f（x）=

a

•

b

其中向量

a

=（2cosx，1），b=(cosx，

3

sin2x+m)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，f（x）的最大值为4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积运算表示出函数f（x），再由二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，根据T=

2π

w

可求得最小正周期，再由正弦函数的单调性可求得单调递增区间．
（2）由（1）可知在x∈[0，

π

6

]时函数f（x）单调递增，进而可得到当x=

π

6

时f（x）取最大值，然后将x=

π

6

代入即可求得m的值．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+m=2sin(2x+

π

6

)+m+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
在[0，π]上单调递增区间为[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．
（2）当x∈[0，

π

6

]时，
∵f（x）递增，
∴当x=

π

6

时，f（x）取最大值为m+3，即m+3=4．解得m=1，
∴m的值为1．

点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数的二倍角公式、两角和与差的公式的应用，考查对三角函数的基本性质--最小正周期和单调性的运用．向量和三角函数的综合题是高考的重点，每年必考，一定要多加练习．