Question

设函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和点(

π

2

，1)，当x∈[0，

π

2

]时，|f（x）|＜2，则实数a的取值范围是（　　）

• A、-

  2

  ＜a≤1
• B、1≤a＜4+3

  2

• C、-

  2

  ＜a＜4+3

  2

• D、-a＜a＜2

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和点(

π

2

，1)，我们易找到a，b，c之间的关系，根据辅助角公式，可将函数解析式进行化简，然后分类讨论a取不同值时，|f（x）|＜2的解集情况，综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和（

π

2

，1），
则a+b=1①，a+c=1②，
由①②得：b=c=1-a，
∴f（x）=a+（1-a）

2

sin（x+45°），可以分以下几种情况：
1）当a=1时，f（x）=1，符合题意；
2）当1-a＞0，即a＜1时，
由x∈[0，

π

2

]得，f（x）∈[1，

2

+（1-

2

）a]，
若|f（x）|＜2，只需

2

+（1-

2

）a＜2，
∴a＞-

2

，
又∵a＜1，所以-

2

＜a＜1：
3）当1-a＜0，即a＞1时，
由x∈[0，

π

2

]得，f（x）∈[

2

+（1-

2

）a，1]，
若|f（x）|＜2，只需

2

+（1-

2

）a＞-2
∴a＜4+3

2

又∵a＞1，所以1＜a＜4+3

2

综上所述：a的取值范围-

2

＜a＜4+3

2

故选C

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中根据已知条件易找到a，b，c之间的关系，再根据辅助角公式，可将函数解析式变形成正弦函数的形式是解答本题的关键．