题目内容
【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，满足
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线
过点
，且与椭圆只有一个公共点，直线
与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点
，
，与直线
交于点
（介于，两点之间）.
（i）求证：
；
（ii）是否存在直线，使得直线、、
、
的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）见解析（ii）
【解析】试题分析：
（1）设
，由题意可得
，所以
. 结合椭圆的定义可得
. 则椭圆C的标准方程为.
（2）(ⅰ)设
方程为
，与联立可得
. 则
的斜率是
.
联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得
，
和
中，由正弦定理得
，
，结合几何关系可得
成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知，
，
，
.假设存在直线，满足题意.不妨设
，
，
若
按某种排序构成等比数列，则
，则
，此时直线
与平行或重合，与题意不符，则不存在直线满足题意.
试题解析：
（1）设，
则
=
，所以.
因为
=4，所以. 
故椭圆C的标准方程为.
（2）(ⅰ)设方程为，与联立，消
得
, 由题意知
，解得.
因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是.
设直线方程：
，
，联立
，整理得
，由
，得
，
，
；
直线
、的斜率之和
所以
关于直线
对称，即
，
在和中，由正弦定理得
，，
又因为，
所以
故成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.
假设存在直线，满足题意.不妨设，，若按某种排序构成等比数列，设公比为
，则或
或
.
所以，则，此时直线与平行或重合，与题意不符，
故不存在直线，满足题意.
【题目】某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 |
| 5 |
|
第2组 |
| a |
|
第3组 |
| 30 | b |
第4组 |
| 20 |
|
第5组 |
| 10 |
|
合计 | 100 |
| |
Ⅰ
求出频率分布表中a，b的值，再在答题纸上完成频率分布直方图；
Ⅱ根据样本频率分布直方图估计样本成绩的中位数；
Ⅲ高校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，再从6名学生中随机抽取2名学生由A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
