Question

5．函数f（x）满足?x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-3，当x＞0时，f（x）＞3，且f（3）=6
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）解不等式f（a²-3a-9）＜4．

Answer 1

分析 （1）运用赋值法，可得x₁=1，x₂=2，以及x₁=x₂=1，代入计算即可得到所求值；
（2）运用单调性的定义，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，结合条件，可得f（x₁）＜f（x₂），即可得证；
（3）由（1）可得f（a²-3a-9）＜f（1），再由（2）可得a²-3a-9＜1，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（1）由函数f（x）满足?x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-3，
当x＞0时，f（x）＞3，且f（3）=6，
可得f（3）=f（1）+f（2）-3=3f（1）-6=6，
∴f（1）=4．
（2）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞3，f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）
═f（x₁）+f（x₂-x₁）-3-f（x₁）=f（x₂-x₁）-3＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是R上的增函数；
（3）所以f（a²-3a-9）＜4．
即f（a²-3a-9）＜f（1），
∵f（x）在R上是增函数，
∴a²-3a-9＜1，解得-2＜a＜5，
即不等式f（a²-3a-9）＜4的解集为（-2，5）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法和定义法的运用，以及函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．