Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距为c，直线l的方程为bx+ay-ab=0，若原点O到直线l的距离为

3

4

c，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  2 3

  3

  或2
• B．

  2 3

  3

• C．

  2

  或

  2 3

  3

• D．2

Answer 1

分析：原点（0，0）到直线bx+ay=ab的距离是d=

|ab|

a2+b2

=

3

4

c，两边平方得16a²c²-16c⁴=3c⁴，两边除以a⁴，得：3e⁴-16e²+16=0，由此能求出双曲线的离心率．

解答：解：原点（0，0）到直线bx+ay=ab的距离是d=

|ab|

a2+b2

=

3

4

c，
两边平方得：a²b²=

3

16

c²（a²+b²）=

3

16

（c²）²，
即：16a²（c²-a²）=3（c²）²，
∴16a²c²-16c⁴=3c⁴，
两边除以a⁴，得：3e⁴-16e²+16=0，
解得e²=4或e²=

4

3

，
因为a＞b，所以a²＞b²，
即a²＞c²-a²，2a²＞c²，
所以

c2

a2

＜2，即e²＜2．
所以e²=4舍去．
∴e²=

4

3

，
所以离心率e=

2 3

3

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法和直线与双曲线位置关系的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．易错点是没有判断e²＜2，从而导致产生增根．