Question

标准正态总体的函数为f（x）=

1

2π

e -

x2

2

，x∈（-∞，+∞）
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）求f（x）的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f（x）的增减性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义法求得f（-x）=f（x）证明函数为偶函数．
（2）利用复合函数的单调性求得函数的最大值．
（3）利用复合函数同增异减的原则求得函数的单调区间．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

1

2π

e

(-x)2

2

=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（2）当x=0时，-

x2

2

有最大值
∴f（x）max=

1

2π

．
（3）

t=- x2 2 y= 1 2π e-t

，由复合函数的单调得，在区间（-∞，0）上函数f（x）单调增，在区间[0，+∞）上单调减．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，复合函数的单调性问题．应熟练应用同增异减的原则来判断函数的单调性．