Question

13．求实数m的取值范围，使关于x的方程x²-mx-m+3=0分别满足下列条件：
（1）一根大于1，一根小于1；
（2）两根都小于5；
（3）一根在（0，1），一根在（1，2）；
（4）两根都在[-4，0]；
（5）一根小于0，一根大于2．

Answer 1

分析 （1）若一根大于1，一根小于1，则f（1）=1-2m+3＜0，解得实数m的取值范围；
（2）两根都小于5，则$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\ \frac{m}{2}＜5\\ f（5）=25-6m+3＞0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围；
（3）一根在（0，1），一根在（1，2），则$\left\{\begin{array}{l}f（0）=-m+3＞0\\ f（1）=1-2m+3＜0\\ f（2）=4-3m+3＞0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围；
（4）两根都在[-4，0]，则$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\-4≤\frac{m}{2}≤0\\ f（-4）=16+3m+3＞0\\ f（0）=-m+3＞0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围；
（5）一根小于0，一根大于2，则$\left\{\begin{array}{l}f（2）=4-3m+3＜0\\ f（0）=-m+3＜0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围．

解答 解：令f（x）=x²-mx-m+3，则函数的图象是开口朝上的抛物线，
（1）若一根大于1，一根小于1，
则f（1）=1-2m+3＜0，
解得：m＞2；
（2）若两根都小于5，
则$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\ \frac{m}{2}＜5\\ f（5）=25-6m+3＞0\end{array}\right.$
解得：m＜-6，或2$＜m＜\frac{14}{3}$；
（3）若一根在（0，1），一根在（1，2）；
则$\left\{\begin{array}{l}f（0）=-m+3＞0\\ f（1）=1-2m+3＜0\\ f（2）=4-3m+3＞0\end{array}\right.$，
解得：2＜m＜$\frac{7}{3}$，
（4）若两根都在[-4，0]，
则$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\-4≤\frac{m}{2}≤0\\ f（-4）=16+3m+3＞0\\ f（0）=-m+3＞0\end{array}\right.$
解得：$-\frac{19}{3}＜m＜-6$；
（5）一根小于0，一根大于2，
则$\left\{\begin{array}{l}f（2）=4-3m+3＜0\\ f（0）=-m+3＜0\end{array}\right.$
解得：m＞3．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．