Question

下列三角形数表：

假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N⁺）
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式，并求出a_n的通项公式
（3）为了得三角形数表中a_n的值，设计了一个程序框图，请你将空白执行框内应该填写的内容填写完整．

Answer 1

分析：（1）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（3）为了得三角形数表中a_n的值，设计的一个程序框图，空白执行框内应该填写的内容是累加变量P的赋值语句．

解答：解：（1）第六行的所有6个数字分别是
6，16，25，25，16，6；（2分）
（2）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），
a₂=2a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）++（a_n-a_n-1）
=2+2+3++(n-1)=2+

(n-2)(n+1)

2

，
所以 an=

1

2

n2-

1

2

n+1   (n≥2)；
（3）写一个累加的变量：P=P+i．

点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法、程序框图，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．