Question

19．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3$\sqrt{3}$，BC=3．沿对角线将△BCD折起，使点C移到C点，且C点在平面ABD的射影O恰在AB上．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求直线AB与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出DA⊥BC，BC⊥DC，由此能证明BC⊥平面ACD．
（2）作AM⊥DC于M，由已知条件推导出∠ABM是AB与平面BCD所成的角，由此能求出直线AB与平面BCD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵在矩形ABCD中，DA⊥AB，
DA?平面ABD，AB是BC在平面ABD内的射影，
∴DA⊥BC，BC⊥DC，
又DA∩DC=D，∴BC⊥平面ACD．
（2）解：作AM⊥DC于M，连接BM，
BC⊥CA，AM∩AC=A，∴BC⊥平面ADC，
BC?平面SDC，∴平面ADC⊥平面BDC，
又AM⊥DC，DC=平面ADC∩平面BDC，
所以AM⊥平面BCD，
所以∠ABM是AB与平面BCD所成的角，
在Rt△DAC中，AM•DC=AD•AC，AM=$\frac{AD•AC}{DC}$=$\frac{3•3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}$，
在Rt△ABM中，sin∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线AB与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．