Question

已知a，b∈R，b≠0，曲线y=x³-ax²-bx和直线 y=ax+b有交点Q（m，n）（m，n∈Z），则a，b满足的等量关系式为

 

．（不能含其它参量）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：把交点Q（m，n）代入得：n=am+b及n=m³-am²-bm，再得出n=m³-am²-bm=m³-m（am+b）=m³-mn，从而m³=（m+1）n，验证整数可得结果．

解答： 解：∵曲线y=x³-ax²-bx和直线 y=ax+b有交点Q（m，n）（m，n∈Z），
∴把交点Q（m，n）代入得：n=am+b及n=m³-am²-bm，
n=m³-am²-bm=m³-m（am+b）=m³-mn，
∴m³=（m+1）n，
∴n=

m3

m+1

=

[(m+1)-1]3

m+1

=

(m+1)3-3(m+1)2+3(m+1)-1

m+1

=(m+1)2-3(m+1)+3-

1

m+1

∵n、（m+1）²、m+1都为整数，∴

1

m+1

为整数，
∴

1

m+1

=1或

1

m+1

=-1，
由

1

m+1

=1得m=0，进一步n=

m3

m+1

=0，则代入n=am+b得出b=0，与已知矛盾；
由

1

m+1

=-1得m=-2，进一步n=

m3

m+1

=8，则代入n=am+b得出8=-2a+b，
∴2a-b+8=0
故答案为：2a-b+8=0

点评：本题主要考查函数图象的交点问题，注意数学式子的恒等变形是解题的关键．