Question

11．已知函数f（x）=2sin²x+2acosx-2a-1的最大值为$\frac{7}{2}$
（1）求a的值；
（2）设g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$-kcosx≥0在x∈[0，$\frac{π}{3}$]有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=-2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1，由二次函数区间的最值分类讨论可得；
（2）问题可化为k≤$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$，只需求y=$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$在$\frac{1}{2}$≤cosx≤1的最大值，换元由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2sin²x+2acosx-2a-1
=2（1-cos²x）+2acosx-2a-1
=-2cos²x+2acosx-2a+1
=-2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1，
由二次函数可知：当$\frac{a}{2}$≤-1即a≤-2时，
cosx=-1时函数取最大值-2-2a-2a+1=$\frac{7}{2}$，
解得a=-$\frac{9}{8}$，不满足a≤-2，应舍去；
当$\frac{a}{2}$≥1即a≥2时，cosx=1时函数取最大值-2+2a-2a+1=-1≠$\frac{7}{2}$，不合题意；
当-1＜$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜2时，cosx=$\frac{a}{2}$时函数取最大值$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1=$\frac{7}{2}$，
解得a=-1，或a=5，由-2＜a＜2可得a=-1，符合题意；
综上可得a=-1；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，$\frac{1}{2}$≤cosx≤1，
由（1）可得g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$-kcosx≥0可化为k≤$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$，
只需求y=$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$=-2-$\frac{2}{cosx}$+$\frac{3}{co{s}^{2}x}$在$\frac{1}{2}$≤cosx≤1的最大值，
令t=$\frac{1}{cosx}$，由$\frac{1}{2}$≤cosx≤1可得1≤t≤2，换元可得y=3t²-2t-2，
由二次函数区间的最值可得当t=1时，y取最大值-1，故k≤-1

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及分类讨论和分类常数法以及二次函数区间的最值，属中档题．