Question

11．已知曲线C：x²+y²-4ax+2ay+20a-20=0．
①求证：不论a取何实数，曲线C必过一定点A
②当a≠2时，求证：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上并写出此直线方程．
③若a=1时，动点P到①中定点A及点B（-2，1）的距离之比为1：2，求点P的轨迹M，并指出曲线M与曲线C的公共点个数．

Answer 1

分析 ①曲线C即 x²+y²-20+a（-4x+2y+20）=0，由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-20=0}\\{-4x+2y+20=0}\end{array}\right.$，求得曲线C一定经过点A（4，-2）．
②证明：当a≠2时，曲线C即 （x-2a）²+（y+a）²=5（a-2）²，表示一个圆，且圆心在直线y=-$\frac{1}{2}$x上．
③设动点P（x，y），由题意可得 $\frac{\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y+2）}^{2}}}{\sqrt{{（x+2）}^{2}{+（y-1）}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化简可得（x-6）²+（y+3）²=20，故点P的轨迹是以F₁（6，-3）为圆心，半径等于R₁=2$\sqrt{5}$的圆．再根据a=1时，圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得点P的轨迹M与曲线C的公共点个数为2．

解答 解：①证明：曲线C：x²+y²-4ax+2ay+20a-20=0，即 x²+y²-20+a（-4x+2y+20）=0，
由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-20=0}\\{-4x+2y+20=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，故曲线C一定经过点A（4，-2）．
②证明：当a≠2时，曲线C即 （x-2a）²+（y+a）²=5（a-2）²，
表示以（2a，-a）为圆心、半径等于$\sqrt{5}$|a-2|的圆，且圆心在直线y=-$\frac{1}{2}$x上．
③设动点P（x，y）到①中定点A及点B（-2，1）的距离之比为1：2，
即 $\frac{\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y+2）}^{2}}}{\sqrt{{（x+2）}^{2}{+（y-1）}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化简可得（x-6）²+（y+3）²=20，故点P的轨迹是以F₁（6，-3）为圆心，半径等于R₁=2$\sqrt{5}$的圆．
a=1时，曲线C即 （x-2）²+（y-1）²=5，是以F₂（2，-1），半径等于R₂=$\sqrt{5}$的圆．
再根据F₁F₂=2$\sqrt{5}$，大于半径之差而小于半径之和，故点P的轨迹M为圆F₁，
故曲线M与曲线C的公共点个数为2．

点评 本题主要考查圆的标准方程，轨迹方程的求法，圆和圆的位置关系，属于中档题．