Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P（x₀，4）到焦点F的距离为5．斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；
（Ⅱ）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）依题意设抛物线C：x²=2py（p＞0），
因为点P到焦点F的距离为5，所以点P到准线y=-

p

2

的距离为5．
因为P（x₀，4），所以由抛物线准线方程可得

p

2

=1，∴p=2．
所以抛物线的标准方程为x²=4y．                   …（4分）
即y=

1

4

x2，所以 y′=

1

2

x，点P（±4，4），
所以y′|x=-4=

1

2

×(-4)=-2，y′|x=4=

1

2

×4=2．
所以点P（-4，4）处抛物线切线方程为y-4=-2（x+4），即2x+y+4=0；点P（4，4）处抛物线切线方程为y-4=2（x-4），即2x-y-4=0．
所以P点处抛物线切线方程为2x+y+4=0，或2x-y-4=0．   …（7分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2=4y y=2x+m

，消y得x²-8x-4m=0，△=64+16m＞0．
所以x₁+x₂=8，x₁x₂=-4m，
所以

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=8+m，
即AB的中点为Q（4，8+m）．
所以AB的垂直平分线方程为y-(8+m)=-

1

2

(x-4)．
因为四边形AMBN为菱形，所以M（0，m+10），
因为M，N关于Q（4，8+m）对称，所以N点坐标为N（8，m+6），
因为N在抛物线上，所以64=4×（m+6），即m=10，
所以直线l的方程为y=2x+10．       …（14分）