Question

【题目】对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．

（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列为“K数列”，且其前n项和满足

？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得和，即可求解实数的取值范围；

（Ⅱ）设公差为，则，得对均成立，即，即可得到结论；

（Ⅲ）设数列的公比为，因为的每一项均为正整数，且，得到，且，得到“”和“”为最小项，又由又因为不是“K数列”， 且“”为最小项，得出，所以或，分类讨论即可得到结论.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，

，②

解①得 ；

解②得 或

所以，故实数的取值范围是．

（Ⅱ）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，

由 ，得 ，

由题意，得对均成立，

即．

当时，;

当时，，

因为，

所以，与矛盾，

故这样的等差数列不存在．

（Ⅲ）设数列的公比为，则，

因为的每一项均为正整数，且，

所以，且.

因为，

所以在中，“”为最小项．

同理，在中，“”为最小项．

由为“K数列”，只需， 即 ，

又因为不是“K数列”， 且“”为最小项，所以， 即 ，

由数列的每一项均为正整数，可得 ，

所以或.

当时，， 则，

令，则，

又 ，

所以为递增数列，即 ，

所以．

因为，

所以对任意的，都有，

即数列为“K数列”．

当时，，则．因为，

所以数列不是“K数列”．

综上：当时，数列为“K数列”，

当时，数列不是“K数列” ．