Question

（本小题满分14分）
已知函数.
(1)若函数f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，求f(x)在上的最大值和最小值；(注)
(3)当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，均有.

Answer 1

解：(1)由已知得
依题意得：在恒成立，
在恒成立，即在恒成立，
所以，得
经检验，当时，函数f(x)在上为增函数
(2)当a=1时
若，则，若，则，故x=1是函数f(x)在区间上的惟一的极小值点，也就是最小值点，
所以当时，f(x)_min=f(1)=0.
又，

，即，
即函数f(x)在区间上最大值是；
综上所述，函数f(x)在区间的最大值是1-ln2，最小值是0
(3)当a=1时，由(1)知，函数在上为增函数，
当n>1时，令，则x>1，故f(x)>f(1)=0
即，即
故
相加得
而
即对于大于1的任意正整数n，

略