题目内容

5．（1）在△ABC中，已知边$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，已知角B=45°，求角A；
若该题中的条件改为边$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，已知角A=60°，求角B；请根据该题的解答归纳判断解三角形的一个解、两个解的依据；
（2）A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC，求A的值；
（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=$\sqrt{3}$bc，$sinC=2\sqrt{3}sinB$，求角A；
（4）在锐角△ABC，A，B，C的对边分别是a，b，c，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6cosC$，求$\frac{tanC}{tanA}+\frac{tanC}{tanB}的值$．

分析 （1）①由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin4{5}^{°}}$，a＞b，A为锐角或钝角，两解．
②$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，A=60°，由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，由a＞b，B为锐角．
综上可得：已知a＞b，A为锐角，则B为锐角．已知a＞b，B为锐角，对b与asinB分类讨论即可得出．
（2）由正弦定理可得：3acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理可得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sinA，即可得出．
（3）由$sinC=2\sqrt{3}sinB$，利用正弦定理可得：c=2$\sqrt{3}$b，又a2-b2=$\sqrt{3}$bc，可得a=$\sqrt{7}$b．再利用余弦定理即可得出．
（4）由$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6cosC$，可得a2+b2=6abcosC，a2+b2=$\frac{3}{2}{c}^{2}$，变形$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{sinCsinC}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{abcosC}$，代入即可得出．

解答 解：（1）①由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin4{5}^{°}}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵a＞b，∴A=60°或120°．
②$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，A=60°，由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵a＞b，∴B=45°．
综上可得：已知a＞b，A为锐角，则B为锐角．
已知a＞b，B为锐角，b＜asinB时，无解；b=asinB时，A=90°；asinB＜b＜a时，A有两解．
（2）由正弦定理可得：3acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理可得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosA=$\frac{1}{3}$，∴A=arccos$\frac{1}{3}$．
（3）∵$sinC=2\sqrt{3}sinB$，由正弦定理可得：c=2$\sqrt{3}$b，又a2-b2=$\sqrt{3}$bc，∴a2=b2+6b2=7b2，即a=$\sqrt{7}$b．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+12{b}^{2}-7{b}^{2}}{2b×2\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$．
（4）∵$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6cosC$，∴a2+b2=6abcosC，b2+a2=6ab×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，可得a2+b2=$\frac{3}{2}{c}^{2}$，
∴$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=tanC•$\frac{cosAsinB+cosBsinA}{sinAsinA}$=$\frac{sinC•sin（A+B）}{cosCsinAsinB}$=$\frac{sinCsinC}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{abcosC}$=$\frac{\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}{3}}{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{6}}$=4．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

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