题目内容

已知泊数f（x）=sinxcosx- $数学公式$
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在区间[0， $数学公式$ ]上的最大值和最小值．

解：∵f（x）=sinxcosx- $\text{[math]}$ sin²x
= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ …4
= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x- $\text{[math]}$
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ …6
∴函数f（x）的最小正周期为π…7
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，
∵0≤x≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最大值1- $\text{[math]}$ ；…10
当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最小值- $\text{[math]}$ …13
分析：（Ⅰ）将f（x）=sinxcosx- $\text{[math]}$ sin²x化为f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，即可求其最小正周期；
（Ⅱ）由0≤x≤ $\text{[math]}$ ，可求得 $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，由正弦函数的性质即可求得f（x）在区间[0. $\text{[math]}$ ]上的最大值和最小值．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查三角变换（降幂公式与辅助角公式）的应用，属于中档题．