题目内容

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期为 $数学公式$ ，f（x）最大值为2
（1）写出f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间 $数学公式$ 上的单增区间．

解：（1）∵函数f（x）=asinωx+bcosωx= $\text{[math]}$ sin（ωx+∅），其中tan∅= $\text{[math]}$ ，
由周期等于π可得 $\text{[math]}$ =π，由此求得ω=2．
再由最大值为 $\text{[math]}$ =2，以及 $\text{[math]}$ =a，解得 $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）=asinωx+bcosωx= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
（2）令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
故在区间 $\text{[math]}$ 上的单增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
分析：（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，由周期求出ω，由函数的最大值为 $\text{[math]}$ =2，以及 $\text{[math]}$ =a，求得a、b的值，即可得到函数的解析式．
（2）令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．再由x∈ $\text{[math]}$ ，进一步确定函数的增区间．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，辅助角公式的应用，求复合三角函数的周期性和增区间，属于中档题．