Question

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A₁′A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．

Answer 1

分析：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，要证：AB⊥平面BCC₁B₁；只需证明AB垂直平面内的两条相交直线，BC和BB₁即可．
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比，先求下部四棱锥的体积，再求棱柱的体积，然后求出两部分体积比．

解答：（1）证明：在正方形AA′A₁′A₁中，
因为A′C=AA′-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB²+BC²=AC²．所以AB⊥BC．
因为四边形AA′A₁′A₁为正方形，BB₁∥AA₁，所以AB⊥BB₁．
而BC∩BB₁=B，BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，
所以AB⊥平面BCC₁B₁．（7分）
（2）解：因为AB⊥平面BCC₁B₁，所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为S_BCQP=

1

2

（BP+CQ）×BC=20．
所以四棱锥A-BCQP的体积V_A-BCQP=

1

3

S_BCQP×AB=20．
由（1），知BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，且AB∩BC=B，AB?平面ABC，BC?平面ABC．
所以BB₁⊥平面ABC．所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱．
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V_ABC-A1B₁C₁=S_△ABC×BB₁=72．
故平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分的体积之比为

72-20

20

=

13

5

（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直，棱锥、棱柱的体积求法，考查空间想象能力，是中档题．