Question

如图，在边长为12的正方形A₁ AA′A₁′中，点B、C在线段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P；作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q；将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A₁′ 与AA₁重合，构成如图所示的三棱柱ABC—A₁B₁C₁，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， （Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；  （Ⅱ）求面PQA与面ABC所成的锐二面角的大小．（Ⅲ）求面APQ将三棱柱ABC—A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．

 

Answer 1

(Ⅰ)见解析    (Ⅱ)  arccos （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5

∵AC² = AB² + BC²,∴AB⊥BC,又AB⊥BB_1,

且BC∩BB₁ = B,∴AB⊥面BCC₁B₁  ;   （4分）

   （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系

则A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)

设面APQ的法向量为= (x，y，z)

= (1，–1，1)而面ABC的法向量可以取= (0，0，1)

∴∴面PQA与面ABC所成的锐二面角

为arccos．  （8分）

   （Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．∴S_{四边形BCQP} =

∴V_A—BCQP =×20×3 = 20又∵V=．

∴．