Question

如图，三棱柱中，平面，，，．以
，为邻边作平行四边形，连接和．

（1）求证：∥平面 ；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，求出的长；若
不存在，说明理由．

Answer 1

（1）平面；（2）；（3）线段上不存在点，使平面与平面垂直.

试题分析：（1）要证明线面平行，需要在平面中找出一条直线平行于.连结，三棱柱中且，由平行四边形得且,
且, 四边形为平行四边形， ,平，平面 ,平面.（2）建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用即，令，则，， ，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，，则，设平面的法向量为，利用垂直关系， 即 ，令，则，，所以，因为平面的法向量为，假设平面与平面垂直，则 ，解得， 
线段上不存在点，使平面与平面垂直.              
试题解析：（1）连结，三棱柱中且，        
由平行四边形得且
且                               1分
四边形为平行四边形，                2分
平，平面               3分
平面                                   4分

（2）由，四边形为平行四边形得，底面
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，
， ，                                1分
，，
设平面的法向量为，则
即，令，则，
                                           3分
         
直线与平面所成角的正弦值为.        5分
（3）设，，则              1分
设平面的法向量为，则
， 即 
令，则，，所以            3分
由（2）知：平面的法向量为
假设平面与平面垂直，则 ，解得， 
线段上不存在点，使平面与平面垂直.
5分