Question

如图，正方体中，已知为棱上的动点.

（1）求证：；
（2）当为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

(1)详见解析；(2)直线与平面所成角的正弦是.

试题分析：(1)空间中证线线垂直，一般先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面？从图形可看出，可证面. (2)思路一、为了求直线与平面所成角的正弦值，首先作出直线在平面内的射影. 连设,连，可证得面,这样便是直线与平面所成角.思路二、由于两两垂直，故可分别以为轴正向,建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.
试题解析：连设,连.
(1)由面,知,
又, 故面.
再由面便得⊥.

(2)在正中,,而,
又面,平面,且,
故⊥面,于是,为二面角的平面角.
正方体ABCD—中,设棱长为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故.
再由知面,故是直线与平面所成角.
又,故直线与平面所成角的正弦是.
解二.分别以为轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为.
(1)易得.
设,则, ,从而
,于是
(2)由题设,,则,.
设是平面的一个法向量,则,即

于是可取,.易得,故若记与的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是.